Méthode académique et reproductible pour dimensionner hélice, moteur BLDC, ESC et batterie d’un drone multirotor

Cadre, conventions et avertissements

Une méthode sérieuse de dimensionnement ne peut pas partir des seules étiquettes commerciales. Les fabricants eux-mêmes montrent pourquoi. Infineon rappelle que les paramètres les plus utiles au modèle — résistance statorique, inductance et constante de force contre-électromotrice — ne sont souvent pas imprimés sur l’étiquette et doivent être mesurés au banc. Molicel précise explicitement, dans sa documentation cellule, que ses caractéristiques sont fournies “for reference only” et ne constituent pas une garantie de performance. Enfin, un contre-exemple très concret existe côté ESC : le T‑Motor ALPHA 40A 6S porte “40A” dans son nom, mais sa fiche publique indique 20 A continus et 40 A pendant 10 s. Autrement dit, ni le KV, ni le “courant ESC”, ni le “C rate” ne sont des garanties suffisantes à eux seuls.

Pour éviter les confusions, je pose ici une convention unique, puis j’indique où se logent les conversions. Soit $\omega_m$ la vitesse mécanique du rotor en rad/s, $n$ la vitesse en tr/min, et $p$ le nombre de pôles magnétiques ; le nombre de paires de pôles vaut $p/2$. Infineon rappelle qu’il y a un cycle électrique par paire de pôles, donc

$$\omega_e=\frac{p}{2}\,\omega_m,\qquad f_e=\frac{p}{2}\frac{n}{60}.$$

J’utilise ensuite $K_E$ comme constante de FEM, $K_T$ comme constante de couple, et $K_V$ comme constante de vitesse, mais toujours avec la convention explicitée. Si l’on parle de $K_E$ phase-neutre RMS et de $K_T$ dans une convention SI cohérente en puissance, les deux sont numériquement égaux ; si l’on mélange tension ligne‑ligne RMS, tension crête, courant RMS de phase, courant $q$-axe, ou courant “DC‑équivalent”, cette égalité numérique cesse d’être vraie. C’est précisément la source la plus fréquente des erreurs de calcul.

Pour un moteur triphasé à aimants permanents, mesuré comme dans la note Infineon, on obtient $R_s$ et $L_s$ par phase en divisant par deux les mesures ligne‑ligne lorsque le contrôleur ou le modèle attend des grandeurs par phase. Si le couplage exact du moteur n’est pas connu, la bonne pratique n’est pas de deviner, mais de rester dans le domaine de mesure ligne‑ligne et de n’effectuer une conversion que si le modèle l’exige. Infineon donne cette procédure pour $R_s$, $L_d$, $L_q$, le nombre de pôles et $K_E$. FAULHABER rappelle de son côté que la résistance “phase‑phase” varie avec la température du bobinage, avec un coefficient proche de 0,004 K$^{-1}$ pour le cuivre.

Pour le lien entre $K_V$, $K_T$ et $K_E$, la seule manière robuste consiste à annoncer la convention. En pratique multirotor, on emploie souvent le raccourci “hobby” suivant :

$$K_T^{eq}\,[\mathrm{N\,m/A}] \approx \frac{60}{2\pi K_V\,[\mathrm{rpm/V}]}=\frac{8{,}27}{K_V}.$$

Cette relation est correcte seulement si $K_V$ et $K_T$ sont pris dans la même convention “DC‑équivalente” de type servo/BLDC. FAULHABER montre précisément que ses constantes $k_E$, $k_M$ et ses courants de datasheet sont fournis dans un tel formalisme équivalent, et non comme courants RMS de phase. C’est utile, mais il ne faut surtout pas mélanger cette convention avec une convention “phase RMS” issue d’un contrôleur FOC.

Le régime à vide et le régime sous charge doivent aussi être distingués. FAULHABER définit le régime à vide $n_0$ à température ambiante et rappelle que le courant à vide $I_0$ dépend lui aussi de la vitesse et de la température. Par conséquent, un KV de catalogue n’est qu’un point de départ : la vitesse réelle sous charge dépendra de la tension appliquée par l’inverseur, de la FEM, de la chute $IR$, de l’inductance, du mode de commutation et de la charge aérodynamique de l’hélice.

Équations minimales du système

Le cœur du modèle moteur–ESC s’écrit, au premier ordre, sous forme de circuit équivalent ou sous forme $dq$. En régime quasi stationnaire, Microchip écrit pour un PMSM

$$V_{ds}\approx R_s i_{ds}-\omega_e L_s i_{qs},\qquad V_{qs}\approx R_s i_{qs}+\omega_e \psi_{PM},$$

et rappelle qu’en SVPWM la tension de phase maximale applicable est limitée par

$$V_{\text{phase,max}}=\frac{V_{bus}}{\sqrt{3}}.$$

Cette limite est fondamentale : elle fixe la vitesse de base et le passage éventuel en affaiblissement de flux. Pour un multirotor classique, on évite en général de dimensionner trop près de cette frontière, car on perd alors de la marge de couple, de la linéarité et de la robustesse en dynamique.

Dans le domaine “DC‑équivalent”, on peut conserver l’écriture intuitive

$$V_{eq}=K_E\omega_m + I_{eq}R + L\frac{dI_{eq}}{dt},\qquad T_e=K_T I_{eq},\qquad P_{méc}=T_e\omega_m.$$

Cette écriture est très utile pour le pré-dimensionnement, mais ne dispense pas du contrôle de cohérence avec la commande réelle de l’ESC. FAULHABER montre en effet qu’un driver PWM agit comme un transformateur DC variable : la tension au moteur est réduite par le duty cycle, et le courant vu côté batterie n’est pas le courant moteur. C’est exactement pourquoi un fusible ou une mesure de courant côté batterie ne protège pas correctement le moteur. En convention FAULHABER, les conversions dépendent même du type de commutation : en commutation sinusoïdale, le courant RMS vaut environ 0,78 fois le courant DC‑équivalent, alors qu’en trapézoïdal il vaut environ 0,82 fois ce courant ; pour retrouver le courant à utiliser avec la constante de couple, on remultiplie par les facteurs inverses (1,29 et 1,22 respectivement). Ces facteurs sont propres à cette convention de datasheet et ne doivent pas être généralisés sans précaution.

Le sous-système hélice s’écrit classiquement

$$T=\rho n^2 D^4 C_T,\qquad Q=\rho n^2 D^5 C_Q,\qquad P_{arbre}=\rho n^3 D^5 C_P,$$

avec

$$C_P=2\pi C_Q.$$

Les essais UIUC utilisent exactement ces définitions, calculent la densité à partir de la pression et de la température ambiantes, et montrent que $C_T$ et $C_P$ sont souvent presque constants localement à haut régime statique, mais certainement pas universels. Les travaux UIUC sur les petits propulseurs montrent aussi que les effets de Reynolds peuvent modifier $C_T$ et $C_P$, en particulier quand le régime diminue ou quand la corde locale bascule dans des Reynolds très faibles. En clair : on peut ajuster des lois locales $C_T(n)$, $C_P(n)$, mais il ne faut pas transporter aveuglément un coefficient mesuré hors du domaine Reynolds–Mach–avance qui l’a produit.

Le sous-système batterie se traite au premier ordre par

$$V_{pack,load}=n_s\!\left(U_{OCV}(z,T)-I_{cell}R_{cell}(z,T,\text{âge})\right)-I_{pack}R_{extra}, \qquad I_{cell}=\frac{I_{pack}}{n_p}.$$

L’énergie nominale vaut

$$E_{nom}=n_s n_p\, C_{cell} V_{nom}.$$

La cellule Molicel P45B, par exemple, est donnée pour 3,6 V nominal, 4,2 V chargée, 4,5 Ah typiques, soit 16,2 Wh par cellule, et un courant de décharge continu de 45 A avec coupure thermique à 80°C. Le produit public annonce une résistance interne maximale de 13,8 mΩ. Les revues et articles d’état de l’art confirment que la résistance interne et la capacité utile dépendent fortement de la température, de l’état de charge et du vieillissement : à basse température, la tension en charge et la capacité extractible diminuent ; avec l’âge, la résistance augmente et la puissance délivrable baisse.

Enfin, pour la thermique, le modèle le plus utile au dimensionnement préliminaire est un modèle concentré

$$C_{th}\frac{dT}{dt}=P_{pertes}-\frac{T-T_a}{R_{th}}, \qquad \Delta T(t)=P_{pertes}R_{th}\left(1-e^{-t/\tau}\right),$$

avec des pertes séparées pour le moteur, l’ESC, le câblage et la batterie. FAULHABER rappelle la distinction entre résistance thermique bobinage‑carter et carter‑air, ainsi que les constantes de temps thermiques associées. Les travaux de Green et Brown montrent, côté ESC, que les pertes dépendent du couple demandé, de la tension de bus et de la stratégie de commande, et qu’elles peuvent être suffisamment importantes pour faire chuter le rendement global de manière non négligeable.

Algorithme de sélection reproductible

La méthode suivante est volontairement conservatrice. Elle est faite pour être répétée sur un banc, documentée, et auditée.

1. Fixer la mission et les coins de calcul. Définir la masse totale au décollage $m$, le nombre de rotors $N$, la densité de l’air au jour de mission, la poussée de sustentation $T_h=mg/N$, le facteur de poussée maximale statique requis $\lambda$ (par exemple 2,0 à 2,5 selon l’agilité voulue), la puissance avionique, la réserve énergétique et le profil temporel de mission. Pour un quadrirotor, la poussée maximale exigée par rotor est $T_{max,req}=\lambda mg/4$. Cette étape doit être faite au pire cas de température et de tension utile visées, pas uniquement à batterie pleine et air froid.

2. Choisir d’abord une plage d’hélice, puis la tension, et seulement ensuite le moteur. En multirotor, la poussée et la puissance suivent des lois en $D^4$ et $D^5$. Il est donc souvent plus rationnel de choisir d’abord un diamètre/pas compatible avec l’encombrement, le bruit, la rigidité et la vitesse périphérique, puis de choisir la tension pour contenir le courant, puis enfin de sélectionner le moteur dont le $K_V$ place les points de fonctionnement dans une zone de rendement correcte, loin de l’affaiblissement de flux. La contrainte $V_{\text{phase,max}}=V_{bus}/\sqrt{3}$ fournit le garde-fou côté vitesse de base.

3. Préfiltrer les moteurs uniquement sur des données structurantes. Conserver uniquement les moteurs pour lesquels on connaît au minimum : nombre de pôles, résistance, courant à vide, masse, fenêtre tension, et surtout la définition exacte des limites temporelles (“10 s”, “180 s”, etc.). Infineon rappelle que $R_s$, $L_s$ et $K_E$ doivent souvent être mesurés ; si le constructeur ne les publie pas, il faut les obtenir au banc avant d’aller plus loin. Une limite “35 A / 180 s” n’est pas une limite continue infinie.

4. Préfiltrer les hélices sur des courbes publiques ou mesurées localement. Les coefficients $C_T$, $C_P$, $C_Q$ doivent provenir d’une base d’essais ou d’un banc maison dans la zone de régime utile. Si l’on travaille en stationnaire ou quasi stationnaire, les données statiques suffisent pour le premier filtrage ; sinon, il faut aussi mesurer en veine d’air. Les travaux UIUC sont une excellente base méthodologique, mais ils ne dispensent pas de vérifier le domaine Reynolds de l’hélice réelle.

5. Construire une carte de rendement système. Pour chaque triplet hélice–moteur–ESC–tension, établir une grille expérimentale $(V_{dc},\,\text{commande},\,n)\mapsto(T,Q,P_{in},P_{arbre},\eta)$. Brown et Green montrent l’intérêt de mesurer les puissances DC, AC et mécaniques plutôt que de se contenter de la seule poussée. Le test doit vérifier au minimum la cohérence physique $P_{arbre}=2\pi nQ \le P_{in}$. Cette vérification est indispensable : sur des tableaux publics, on trouve parfois des lignes qui violent cette inégalité, ce qui impose une revue manuelle des données avant any usage.

6. Dimensionner l’ESC à partir des points réellement soutenus, pas du nom commercial. L’ESC doit être accepté sur ses courants soutenus et transitoires au plus chaud, avec l’hélice choisie et l’airflow réel. L’exemple T‑Motor ALPHA 40A 6S est instructif : publié à 20 A continus et 40 A/10 s, malgré son nom “40A”. De plus, les protections ne se généralisent pas d’une famille à l’autre : T‑Motor annonce sur l’ALPHA 60A des protections surintensité, blocage moteur, court-circuit et sous-tension, alors que Hobbywing indique sur le XRotor Pro 50A qu’il n’a ni protection basse tension ni protection thermique, et son manuel H80A FOC industriel précise de même l’absence de protections basse tension et surchauffe. Il faut donc documenter ce modèle précis, pas “la marque” ni “la famille”.

7. Dimensionner la batterie sur quatre critères simultanés : puissance, énergie, sag et thermique. Vérifier le courant maximal pack, le courant cellule $I_{cell}=I_{pack}/n_p$, la chute de tension en charge, l’énergie utile à la réserve imposée, et la montée thermique. Les études sur les cellules Li‑ion montrent qu’âge, température et SOC modifient la résistance interne ; une marge sur $R_{int}$ est donc obligatoire. Pour les LiPo, attention à ne pas plaquer mécaniquement les seuils d’une famille sur une autre : un guide officiel Tattu rappelle la pratique courante 3,7 V nominal / 4,2 V pleine charge / éviter <3,0 V par cellule pour les LiPo standard, tandis qu’une cellule Li‑ion P45B est publiée avec 2,5 V de tension de coupure. Le bon cutoff dépend donc du produit exact, pas de l’étiquette “lithium”.

8. Tester la dynamique, pas seulement le statique. Baldini montre qu’un modèle de propulsion multirotor crédible doit intégrer explicitement la chute de tension batterie pour ne pas se tromper sur la force produite. Il faut donc journaliser des échelons rapides de commande — par exemple 20→50→80% — à batterie pleine, intermédiaire et proche de la réserve, en suivant $V_{dc}$, $I_{dc}$, $n$, $T$, $Q$, les températures et les éventuels défauts ESC. Les arrêts, désynchronisations, réarmements, oscillations de régime ou saturations de courant sont des motifs de rejet, même si les points statiques semblaient satisfaisants.

9. Valider ensuite la thermique. Exécuter des paliers de durée représentative : hover long, montée soutenue, burst, descente, répétés jusqu’au quasi-état stationnaire. Le moteur doit rester dans sa zone thermique admissible, l’ESC dans la sienne, les connecteurs et câbles sans ramollissement ni odeur, et la batterie sous la température de design retenue. Les limites constructeur exprimées en 10 s ou 180 s ne peuvent être requalifiées en “continu” qu’après essai.

10. N’accepter qu’un système qui passe tous les filtres. Le bon couple propulseur n’est pas celui qui “colle au catalogue”, mais celui qui passe simultanément les cartes de rendement, la sag battery, la dynamique, la thermique et la sécurité.

Banc d’essai, critères d’arrêt et sécurité

Pour qu’un résultat soit reproductible, le banc doit produire au minimum les variables suivantes : tension et courant côté batterie, tension et courant côté moteur si l’instrumentation le permet, poussée, couple d’arbre, vitesse, température ambiante, pression ambiante, températures moteur/ESC/batterie/câblage, état de charge initial, et si possible une estimation de la résistance interne pack par impulsion ou EIS simplifiée. Brown comme Green insistent sur l’importance de mesurer la puissance en entrée et en sortie de l’ESC ; UIUC détaille la mesure de la densité, du couple, de la vitesse et des coefficients propulsifs.

Les critères d’arrêt de banc devraient être écrits avant le premier essai. Je recommande au minimum : arrêt si une cellule descend sous le seuil constructeur du produit exact ; arrêt si le moteur, l’ESC, un connecteur ou le câblage dépasse la température de design ; arrêt si le calcul temps réel donne $P_{arbre}>P_{in}$ ou une autre incohérence forte ; arrêt immédiat si désynchronisation, blocage, vibration anormale, odeur, fumée, reboots ESC ou chute brutale de poussée ; arrêt si la dérive thermique ne converge pas. Les documents ESC de T‑Motor et Hobbywing montrent que les protections disponibles varient fortement, donc le banc ne doit jamais supposer qu’une protection embarquée “sauvera” l’essai.

La checklist de sécurité pratique est courte mais non négociable : retirer les hélices pendant la calibration et la programmation ; isoler correctement tous les points de puissance ; ne jamais charger sans surveillance, ni la nuit ; charger sur support résistant à la chaleur ; utiliser le mode chargeur correspondant à la chimie ; lire à la fois la notice moteur et la notice ESC avant toute mise sous tension ; et maintenir l’ESC hors des environnements thermiques excessifs. Ces consignes apparaissent explicitement dans des manuels officiels Hobbywing et Tattu/Gens Ace.

Les erreurs classiques sont presque toujours les mêmes. La première est de confondre courant batterie et courant phase. La deuxième est de mélanger ligne‑ligne, phase‑neutre, RMS, crête et DC‑équivalent dans les conversions $K_V$, $K_E$, $K_T$. La troisième est d’employer un $C_T$ ou un $C_P$ mesuré à un certain Reynolds comme s’il valait partout. La quatrième est de lire “40A” comme une limite continue universelle. La cinquième est de dimensionner sur batterie pleine seulement, sans regarder la zone de réserve, l’âge et le froid. La sixième, plus subtile, est de ne pas faire de contrôle de cohérence énergétique sur les tableaux publics. Chacune de ces erreurs est documentée, directement ou indirectement, par les sources utilisées ici.

Pour un usage universitaire, les exercices les plus féconds sont les suivants : faire convertir un même moteur entre trois conventions $(K_V, K_E, K_T)$ et identifier les facteurs de conversion ; ajuster localement $C_T$ et $C_P$ à partir d’un banc ; comparer l’autonomie obtenue avec une LiPo standard et une Li‑ion de même énergie nominale mais de résistance interne différente ; écrire un modèle thermique à un nœud puis le confronter à un palier de banc ; et faire vérifier par les étudiants qu’un tableau constructeur respecte bien $P_{arbre}\le P_{in}$. Ces exercices sont simples à noter, mais très puissants pour apprendre à ne pas confondre catalogue et physique.

Exemple numérique complet

Je prends un cas réaliste et entièrement traçable : un quadrirotor de masse totale au décollage

$$m = 3{,}8\pm0{,}1\ \mathrm{kg},$$

utilisé pour inspection/prise de vue, alimenté en 6S, à $25^\circ\mathrm{C}$. La sustentation par rotor vaut

$$T_h=\frac{mg}{4}=9{,}32\ \mathrm{N}\approx 0{,}95\ \mathrm{kgf}.$$

Si l’on exige un rapport poussée/poids statique $\lambda=2{,}2$, la poussée maximale requise par rotor devient

$$T_{max,req}=\frac{2{,}2\,mg}{4}=20{,}5\ \mathrm{N}\approx 2{,}09\ \mathrm{kgf}.$$

Ces valeurs sont des calculs directs, à partir de la masse imposée.

Je retiens comme moteur le T‑Motor MN5212 KV340. Sa fiche publique donne 69 mΩ de résistance interne, une configuration 24N22P, un courant à vide de 1,1 A à 10 V, une fenêtre 4–8S, et une limite 35 A pendant 180 s. La table d’essais publique du même moteur, à 24 V avec une hélice 16×5.4 CF, indique à 50 % de commande : 942 g de poussée, 3767 rpm, 93,4 W d’entrée, 0,187 N·m de couple, et à 75 % : 2110 g, 5565 rpm, 266,2 W, 0,405 N·m. Ces deux points suffisent pour couvrir notre hover et notre poussée maximale exigée.

Le point de hover demandé, $0,95\ \mathrm{kgf}$ par rotor, tombe pratiquement sur le point public à 50 % / 942 g. Le point de poussée maximale exigée, $2,09\ \mathrm{kgf}$ par rotor, tombe pratiquement sur le point public à 75 % / 2110 g. Le couple moteur–hélice satisfait donc la mission sans devoir monter aux points les plus hautement chargés du tableau. C’est précisément ce que l’on veut dans une sélection robuste.

L’ESC choisi pour l’exemple est le T‑Motor ALPHA 40A 6S, mais avec sa fiche lue correctement : 18–25,2 V, 20 A continus, 40 A pendant 10 s, fréquence de rafraîchissement accélérateur 500 Hz. Cette nuance est cruciale. Au hover, le courant d’entrée public du MN5212+16×5.4 est d’environ 3,9 A par rotor ; au point $T_{max,req}$, il est d’environ 11,1 A par rotor. Ces deux points restent sous la limite continue de l’ESC. En revanche, le point plein gaz public à 21,6 A par rotor dépasserait la limite continue de cet ESC ; il doit donc être considéré comme transitoire au plus, ou conduire à choisir un ESC différent si la mission impose des pleins gaz soutenus. Cet exemple montre exactement pourquoi il faut lire les durées publiées.

Pour la batterie, je choisis une 6S2P réalisée avec des cellules Molicel P45B. Les données publiques donnent 3,6 V nominal, 4,2 V chargée, 4,5 Ah typiques, soit 16,2 Wh par cellule, un courant continu de 45 A par cellule avec coupure thermique à 80°C, et une résistance interne maximale annoncée de 13,8 mΩ. Le pack vaut donc

$$V_{nom}=6\times 3{,}6=21{,}6\ \mathrm{V},\qquad V_{full}=6\times 4{,}2=25{,}2\ \mathrm{V},$$ $$C_{pack}=2\times 4{,}5=9{,}0\ \mathrm{Ah},\qquad E_{nom}=21{,}6\times 9{,}0=194{,}4\ \mathrm{Wh}.$$

La résistance interne “cellules seules” du pack, au majorant public, vaut

$$R_{pack,cell}\approx 6\times \frac{13{,}8\ \mathrm{m\Omega}}{2}=41{,}4\ \mathrm{m\Omega},$$

auxquels il faudrait ajouter la résistance réelle des barres, câbles et connecteurs au banc.

Au hover, la puissance propulsion vaut environ

$$P_{hover,prop}=4\times 93{,}4=373{,}6\ \mathrm{W}.$$

En ajoutant 15 W d’avionique, on obtient

$$P_{hover,tot}\approx 388{,}6\ \mathrm{W}.$$

Le courant pack en hover est alors d’environ

$$I_{hover}\approx \frac{373{,}6}{24}\approx 15{,}6\ \mathrm{A}$$

si l’on raisonne près de 24 V, soit 7,8 A par branche parallèle et 3,9 A par cellule. Au point $T_{max,req}$, on a

$$P_{max,req,prop}=4\times 266{,}2=1064{,}8\ \mathrm{W}, \qquad I_{max,req}\approx 44{,}4\ \mathrm{A}$$

au voisinage de 24 V, soit 11,1 A par cellule seulement. On reste donc très loin de la limite de 45 A par cellule publiée pour cette cellule, mais cette marge n’a de valeur que si la température réelle cellule reste elle aussi contenue.

La chute de tension pack, au premier ordre $\Delta V \approx I R$, vaut alors environ

$$\Delta V_{hover}\approx 15{,}6\times 0{,}0414 \approx 0{,}65\ \mathrm{V},$$ $$\Delta V_{max,req}\approx 44{,}4\times 0{,}0414 \approx 1{,}84\ \mathrm{V}.$$

Donc, à batterie chargée, le bus attendu est de l’ordre de 24,6 V au hover et 23,4 V au point de poussée maximale exigée, avant ajout des pertes de faisceau. Cette simple estimation montre déjà deux choses : le sag n’est pas négligeable, et le choix 6S2P cellulaire a ici beaucoup plus de sens qu’un raisonnement naïf sur “C rate” de catalogue.

On peut maintenant relier les lois d’hélice aux données publiques. Pour le point de hover public du MN5212 KV340 + 16×5.4CF, avec $D=0{,}4064\ \mathrm{m}$, $n=3767/60=62{,}8\ \mathrm{s^{-1}}$, $T=0{,}942\times 9{,}80665=9{,}24\ \mathrm{N}$, $Q=0{,}187\ \mathrm{N\,m}$, on obtient, en prenant $\rho=1{,}20\ \mathrm{kg/m^3}$ comme hypothèse d’exemple,

$$C_T \approx 0{,}071,\qquad C_Q \approx 0{,}00355,\qquad C_P \approx 0{,}0223.$$

Ces valeurs sont calculées ici à partir des définitions UIUC et des données publiques T‑Motor ; elles constituent une loi locale utile pour ce point de fonctionnement, pas une constante universelle de cette hélice.

La puissance mécanique d’arbre au hover vaut

$$P_{arbre}=2\pi nQ \approx 73{,}8\ \mathrm{W}$$

par rotor, contre 93,4 W d’entrée électrique publiés. Le rendement “moteur+ESC+pertes diverses” correspondant est donc d’environ

$$\eta_{elec\to arbre}\approx \frac{73{,}8}{93{,}4}\approx 0{,}79.$$

Au point $T_{max,req}$, avec $Q=0{,}405\ \mathrm{N\,m}$ et $n=5565/60$, on obtient environ 236 W à l’arbre pour 266,2 W électriques, soit un rendement global proche de 0,89. On voit ici pourquoi une carte de rendement vaut plus qu’un unique “grammes par watt” : le système n’a pas le même rendement selon le point de vol.

Si j’utilise la relation “hobby/DC‑équivalente”

$$K_T^{eq}\approx \frac{8{,}27}{340}=0{,}0243\ \mathrm{N\,m/A},$$

alors le courant de couple équivalent vaut environ

$$I_{eq,hover}\approx \frac{0{,}187}{0{,}0243}=7{,}7\ \mathrm{A}, \qquad I_{eq,max,req}\approx \frac{0{,}405}{0{,}0243}=16{,}7\ \mathrm{A}.$$

Ces courants sont supérieurs aux courants vus côté batterie (3,9 A et 11,1 A par rotor), ce qui confirme expérimentalement le point théorique précédent : à PWM partiel, le courant phase/équivalent de couple peut être nettement plus élevé que le courant pack. C’est normal, et c’est précisément pour cela qu’on ne protège pas un moteur BLDC multirotor avec la seule mesure de courant batterie.

Pour l’autonomie, je pose une réserve énergétique opérationnelle de 20 % SOC et une marge supplémentaire de 5 % pour l’énergie inaccessible en fin de décharge à cause du sag et de la dispersion. L’énergie utilisable vaut alors

$$E_{usable}\approx 0{,}75\times 194{,}4=145{,}8\ \mathrm{Wh}.$$

L’autonomie de hover estimée devient

$$t_{hover}\approx \frac{145{,}8}{388{,}6}=0{,}375\ \mathrm{h}\approx 22{,}5\ \mathrm{min}.$$

Pour une mission plus réaliste avec 80 % du temps au hover et 20 % du temps proche du point $T_{max,req}$, la puissance moyenne totale monte à environ 527 W, et l’autonomie tombe à environ 16,6 min. Le message important n’est pas le chiffre absolu, mais la méthode : l’autonomie doit être calculée sur le profil de mission, pas sur un seul point de hover idéalisé.

Pour les températures, je distingue ce qui est mesuré publiquement, ce qui est déduit, et ce qui est assumé. T‑Motor publie, pour ce moteur, une température de surface associée à un essai de 10 min à 100 % de commande pour chaque couple moteur‑hélice ; pour le MN5212 KV340 avec 16×5.4CF, la valeur affichée est 49°C dans ce protocole. En prenant cette valeur comme ancrage et en mettant à l’échelle la perte électrique $P_{pertes}=P_{in}-P_{arbre}$, on obtient au hover environ 19,6 W de pertes par rotor contre 30,0 W sur le point d’ancrage, d’où une température moteur de l’ordre de 40–42°C au hover à $25^\circ\mathrm{C}$ ambiant. Au point $T_{max,req}$, les pertes sont de l’ordre de 30,2 W ; la température moteur attendue se rapproche donc du repère public, soit environ 49°C sous palier prolongé comparable. Ce sont des estimations de premier ordre, pas des garanties.

Pour l’ESC, la source publique ne donne pas de modèle thermique exploitable ni de $R_{DS(on)}$ agrégé ; il faut donc mesurer la température au banc. Si l’on fait néanmoins une estimation d’ingénierie en supposant un rendement ESC de 97 à 99 % en propwash, on obtient quelques watts dissipés pour l’ensemble des quatre ESC au hover, et quelques dizaines de watts lors des segments proches du point $T_{max,req}$. Une estimation raisonnable est alors 35–45°C de boîtier ESC au hover et 45–60°C lors des segments soutenus plus chargés, mais j’insiste : ici, le banc décide. Cette partie est volontairement séparée des valeurs publiées, parce qu’elle repose sur des hypothèses de modèle, non sur une donnée constructeur complète.

Pour la batterie, la dissipation ohmique pack vaut environ

$$P_{bat,heat}\approx I^2R_{pack}.$$

Avec $R_{pack,cell}=41{,}4\ \mathrm{m\Omega}$, on obtient environ 10 W au hover et 82 W près du point $T_{max,req}$. En hypothèse adiabatique simple, cela correspond à une montée thermique de plusieurs kelvins par minute dans les segments les plus chargés, et d’environ une dizaine à une vingtaine de kelvins sur un vol long de hover s’il n’y a presque pas de refroidissement. En pratique, avec flux d’air, un objectif réaliste pour ce cas d’étude est de rester autour de 35–45°C de cellule en fin de mission à $25^\circ\mathrm{C}$ ambiant. Là encore, la bonne pratique n’est pas de croire un chiffre théorique, mais de confronter le modèle à un essai instrumenté. Les revues sur les batteries rappellent d’ailleurs que le comportement thermique et l’impédance varient sensiblement avec la température et l’âge.

Une propagation d’incertitude simple donne un ordre de grandeur honnête. Supposons : masse $\pm 0{,}1\ \mathrm{kg}$, densité d’air $\pm 4\%$, capacité pack entre 8,6 Ah et 9,0 Ah (minimum vs typique), et fraction d’énergie utile $75\%\pm5\%$. Si l’on regroupe ces termes, l’incertitude relative sur l’énergie utile vaut environ 8 % ; si l’on prend 8 % d’incertitude sur la puissance de hover (masse, densité, interpolation locale des courbes), l’incertitude relative sur l’autonomie vaut

$$u_r(t)\approx \sqrt{8^2+8^2}\%\approx 11\%.$$

On peut donc annoncer, pour cet exemple,

$$t_{hover}\approx 22{,}5\ \mathrm{min}\ \pm\ 2{,}5\ \mathrm{min}.$$

Pour le sag, une incertitude de 20 % sur la résistance interne effective du pack conduit à des intervalles simples : $\Delta V_{hover}\approx 0{,}65\pm0{,}13\ \mathrm{V}$ et $\Delta V_{max,req}\approx 1{,}84\pm0{,}37\ \mathrm{V}$. Ces chiffres sont sobres, compréhensibles, et surtout assez fidèles à ce qu’un banc bien tenu montrera réellement.

Le verdict sur cet exemple est donc le suivant. Le couple MN5212 KV340 + 16×5.4CF + 6S2P P45B est cohérent pour un quadrirotor de $3{,}8\ \mathrm{kg}$, avec une marge statique en poussée convenable, une autonomie réaliste de l’ordre de 17 à 23 min selon le profil, et des niveaux de courant compatibles avec un ALPHA 40A 6S à condition de ne pas exiger de plein gaz soutenu. Si la mission impose des montées longues, du vent fort ou des bursts répétés, l’ESC doit être surclassé ou remplacé par un modèle dont le continu réel et la protection thermique sont publiés et vérifiés au banc.

Références distinguées et limites

Les références primaires les plus utiles pour construire la méthode sont : les travaux d’Andrew Gong sur les essais et la modélisation moteur–ESC–hélice pour UAV, les thèses de Clayton Green et Robert Brown sur le rendement des ESC et la mesure des puissances DC/AC/mécaniques, les publications UIUC de Deters, Ananda et Selig sur les coefficients propulsifs et les effets de Reynolds, l’article de Baldini et al. sur la modélisation du powertrain avec adaptation à la chute de tension batterie, ainsi que les travaux sur l’impédance, la température et le vieillissement des Li‑ion comme la revue d’Alipour et al., l’étude de Stroe et al. sur l’augmentation de résistance au vieillissement calendaire, et l’article de Barcellona et al. sur l’hystérésis de résistance avec l’âge.

Les documentations constructeur les plus utiles sont : la note Infineon 2023 sur la mesure des paramètres moteur $R_s$, $L_s$, pôles et $K_E$ ; la note Microchip AN2520 sur la relation entre vitesse, FEM, inductance et limite de tension d’inverseur ; les documents techniques et notes d’application FAULHABER sur $k_E$, $k_M$, $I_0$, les conversions de courant et la thermique ; les pages techniques T‑Motor des moteurs MN5212/U5 et des ESC ALPHA ; les fiches cellules Molicel P45B/P42A ; les documents Hobbywing montrant que les protections diffèrent d’un ESC à l’autre ; et les manuels officiels Tattu/Gens Ace pour les règles de charge et de manipulation LiPo.

La principale limite de cette synthèse est volontairement assumée : même avec de bonnes sources publiques, les paramètres les plus décisifs au dimensionnement final — résistance additionnelle du pack assemblé, pertes MOSFET réelles de l’ESC choisi, résistance thermique effective en propwash, températures de jonction, et comportement dynamique exact sous montée rapide — sont rarement publiés avec assez de détail pour dispenser du banc. C’est précisément pour cela que la méthode proposée est centrée sur la re-mesure et sur la séparation nette entre données publiées, grandeurs déduites et hypothèses de modèle. Brown le dit très clairement : les détails techniques libérés par les fabricants d’ESC et de BLDC sont souvent insuffisants pour un dimensionnement rigoureux si l’on ne caractérise pas soi-même les composants.